a) Ta có: \(\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\)

\(\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\forall a\)

\(\Leftrightarrow a^2+2a+1\ge4a\forall a\)

\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2\ge4a\)(đpcm)

b) Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:

\(a+1\ge2\sqrt{a};b+1\ge2\sqrt{b};c+1\ge2\sqrt{c}\\ \Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge8\sqrt{abc}=8\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

\(\left(a+1\right)^2\ge4a\)

\(=a^2+2a+1\ge4a\)

\(=a^2+2a+1-4a\ge0\)

\(=a^2-2a+1\ge0\)

\(=\left(a-1\right)^2\ge0\)( luôn đúng )

\(\Rightarrow\left(a+1\right)^2\ge4a\)( đúng ) 

a )Ta có : \(\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\)

\(\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+2a+1\right)-4a\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2-4a\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a+1\right)^2\ge4a\) (đpcm)

b ) Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có :

\(a+1\ge2\sqrt{a}\)

\(b+1\ge2\sqrt{b}\)

\(c+1\ge2\sqrt{c}\)

\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}=8\sqrt{abc}=8\) (đpcm)

( Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1 )

a, \(\left(a+1\right)^2\ge4a\)

\(\Leftrightarrow a^2+2a+1\ge4a\)

\(\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)

b, Áp dụng bđt Cô-si

\(a+1\ge2\sqrt{a}\)

\(b+1\ge2\sqrt{b}\)

\(c+1\ge2\sqrt{c}\)

\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}\)

                                                               \(=8\sqrt{abc}=8\)(ĐPCM)

Dấu "=" khi a = b = c =1

a, \(\left(a-1\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow a^2-2a+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+2a+1>4a\)

\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2\ge4a.\)

b, Áp dụng bất đẳng thức trên ta có :

( a + 1 )² > 4a \(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{\left(a+1\right)^2}\ge2\sqrt{a}\)

mà \(\sqrt{\left(a+1\right)^2}=\left|a+1\right|\)

Do a > 0 nên a + 1 > 0. Vậy | a + 1 | = a + 1.

Khi đó : a + 1 > \(2\sqrt{a}\)

Tương tự ta có : 

b + 1 > \(2\sqrt{b}\)và c + 1 > \(2\sqrt{c}\)

=> ( a + 1 ) ( b + 1 ) ( c + 1 ) > \(8\sqrt{abc}=8.\)

Sửa đề: Chứng minh \(abc\le\dfrac{1}{8}\)

Ta có

\(\dfrac{1}{1+a}=\left(1-\dfrac{1}{1+b}\right)+\left(1-\dfrac{1}{1+c}\right)\)

\(=\dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\dfrac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\) (1)

Tương tự \(\dfrac{1}{1+b}\ge2\sqrt{\dfrac{ca}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}}\) (2)

và \(\dfrac{1}{1+c}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\) (3)

Nhân (1), (2), (3) với nhau:

\(\dfrac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\dfrac{8abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)

\(\Rightarrow abc\le\dfrac{1}{8}\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{2}\)

3. abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương. 
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết 
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương 

Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0 
mà abc > 0 => bc > 0 
Nếu b < 0, c < 0: 
=> b + c < 0 
Từ gt: a + b + c < 0 
=> b + c > - a 
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0) 
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac 
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2 
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2) 
ta có: 
b^2 + c^2 >= 0 
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0 
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0 
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý) 
trái gt: ab + bc + ca > 0 

Vậy b > 0 và c >0 
=> cả 3 số a, b, c > 0

1.a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4a>0\)

                   \(\left(b+c\right)^2\ge4b>0\)

                    \(\left(a+c\right)^2\ge4c>0\)

\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64abc\)

Mà abc=1

\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\left(đpcm\right)\)     

sai rồi. sửa a+b=a+1, b+c=b+1, a+c=c+1 nha, thông cảm, nhìn sai đề

a) Có: \(\left(a-1\right)^2\ge0,\forall a\)

\(\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+2a+1\ge4a\)

\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2\ge4a\)

=>đpcm

b) Áp dụng bđt trên ta có:

\(\left(a+1\right)^2\ge4a\) (1)

\(\left(b+1\right)^2\ge4b\) (2)

\(\left(c+1\right)^2\ge4c\) (3)

Nhân vế vs vế (1) ; (2);(3) ta đc:

\(\left(a+1\right)^2\left(b+1\right)^2\left(c+1\right)^2\ge4a\cdot4b\cdot4c=64abc=64\)

\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge8\)

a) Theo Caucy thì: a²+b²>= 2ab.

=>(a+1)²=a²+1+2a>=4a

b) Theo Cauchy thì : a+b>=2\(\sqrt{ab}\)

a)

(a+1)²​​>=4a

<=> a² +2a+1>=4a

<=>a² -2a+1>=0

<=>(a-1)²>=0 với mọi a

Mà các phép biến đổi trên tương đương

=> đpcm

Áp dụng BĐT ở câu a)

\(\left(a+1\right)^2\ge4a\Leftrightarrow\sqrt{\left(a+1\right)^2}\ge\sqrt{4a}\)

Mà a dương nên \(BĐT\Leftrightarrow a+1\ge2\sqrt{a}\)

Chứng minh tương tự: \(b+1\ge2\sqrt{b}\)

\(c+1\ge2\sqrt{c}\)

\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge8\sqrt{abc}=8\)(Vì abc = 1)

a) (a-1)^2 >= 0 <=> a^2 - 2a + 1 >= 0 <=> a^2 + 2a + 1 > 4a <=> (a+1)^2 >= 4a

b) Áp dụng bđt trên: \(\left(a+1\right)^2\ge4a\Leftrightarrow\sqrt{\left(a+1\right)^2}\ge2\sqrt{a}\)

mà \(\sqrt{\left(a+1\right)^2}=\left|a+1\right|\) Do a > 0 nên a+1>0. Vậy |a+1| = a + 1

Khi đó: a+1 >= 2 căn a

Tương tự ta có b+1 >= 2 căn b và c+1 >= 2 căn c

=> (a+b)(b+a)(c+1) >= 8 căn abc = 8

9. a) Xét hiệu : (a + 1)\(^2\) – 4a = a\(^2\) + 2a + 1 – 4a = a\(^2\)– 2a + 1 = (a – 1)\(^2\) ≥ 0.